Prove que (1 - x^(n + 1)) / (1 - x) = 1 + x + ... + x^n para todo x ≠ 1

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão prove que (1 - x^(n + 1))/(( 1 - x )) = 1 + x + ... + x^n para todo x != 1

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Sabendo que,

(1 - x^(n + 1))/(( 1 - x )) = 1 + x + ... + x^n para todo x != 1

Temos,

sum_(k = 0)^n x^k = (1 - x^(n + 1))/(1 - x)

Para x != 1

Usando a soma telescópica

sum_(k = 0)^n x^(k + 1) - x^k = x^(n + 1 ) - 1

Como,

x^(k + 1 ) - x^k = x^k ( x - 1 ) então,

sum_(k = 0)^n x^k = (x^(n + 1) - 1)/(x - 1) = (1 - x^(n + 1 ))/(1 - x)

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

sum_(k = 0)^n x^k = (x^(n + 1) - 1)/(x - 1) = (1 - x^(n + 1 ))/(1 - x)