Qual quantidade é maior: f' (5,5) ou f' (6,5) ?

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Bora identificar nossos pontos olhando para o gráfico, e usar a relação para determinar nossas derivadas:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a)

Passo 2

Para a = 6 , 5 :

O ponto a = 6 , 5 se localiza numa parábola.

A equação da parábola pode ser escrita como:

f (x) = m x^2 + b x + c

m , b e c são constantes.

Aplicando a derivada por definição:

f^' (6 , 5) = underset(h -> 0)(lim) (f (6 , 5 + h) - f (6 , 5))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) ((m (6 , 5 + h)^2 + b (6 , 5 + h) + c) - (42,25 m + 6 , 5 b + c))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m (h^2 + 1 3 h + 42,25) + 6 , 5 b + b h + c - 42,25 m - 6 , 5 b - c)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m h^2 + 1 3 m h + 42,25 m + 6 , 5 b + b h + c - 42,25 m - 6 , 5 b - c)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m h^2 + 1 3 m h + b h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) m h + 1 3 m + b = 1 3 m + b

Agora temos que encontrar o valor das constantes m e b :

Escrevendo a equação dessa parábola:

f (x) = m x^2 + b x + c

{[[25,m,+,5,b,+,c,=,2],[81,m,+,9,b,+,c,=,2],[42,25,m,+,6,,,5,b,+,c,tildetilde,4]])

Resolvendo esse sistema, encontramos m tildetilde - 0 , 533 , b tildetilde 7 , 4 67 e c tildetilde - 2 2 e a equação da parábola fica:

f (x) tildetilde - 0 , 533 x^2 + 7 , 4 67 x - 2 2

Ou seja, podemos afirmar que:

f^' (6 , 5) tildetilde 1 3 m + b tildetilde 1 3 (- 0 , 533) + 7 , 4 67 tildetilde - 6,929 + 7 , 4 67 tildetilde 0,538

a = 6 , 5 -> f^' (6 , 5) tildetilde 0 , 538

Ainda não acabou, hehehe...

Passo 3

Repetindo o procedimento para a = 5 , 5 :

O ponto a = 5 , 5 se localiza numa parábola.

A equação da parábola pode ser escrita como:

f (x) = m x^2 + b x + c

m , b e c são constantes.

Aplicando a derivada por definição:

f^' (5 , 5) = underset(h -> 0)(lim) (f (5 , 5 + h) - f (5 , 5))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) ((m (5 , 5 + h)^2 + b (5 , 5 + h) + c) - (30 , 25 m + 5 , 5 b + c))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m (h^2 + 1 1 h + 30,25) + 5 , 5 b + b h + c - 30 , 25 m - 5 , 5 b - c)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m h^2 + 1 1 m h + 30 , 25 m + 5 , 5 b + b h + c - 30 , 25 m - 5 , 5 b - c)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (m h^2 + 1 1 m h + b h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) m h + 1 1 m + b = 1 1 m + b

Agora temos que encontrar o valor das constantes m e b :

Escrevendo a equação dessa parábola:

f (x) = m x^2 + b x + c

{[[25,m,+,5,b,+,c,=,2],[81,m,+,9,b,+,c,=,2],[30,,,25,m,+,5,,,5,b,+,c,tildetilde,3]])

Resolvendo esse sistema, encontramos m tildetilde - 0,5 71 , b tildetilde 8 e c tildetilde - 2 3,714 e a equação da parábola fica:

f (x) tildetilde - 0,5 71 x^2 + 8 x - 2 3,714

Ou seja, podemos afirmar que:

f^' (5 , 5) tildetilde 1 1 m + b tildetilde 1 1 (- 0,5 71) + 8 tildetilde - 6 , 281 + 8 tildetilde 1 , 719

a = 5 , 5 -> f^' (5 , 5) tildetilde 1 , 719

Passo 4

Temos então que

f^' (5,5) = 1,719

f^' (6,5) = 0,538

Logo,

f^' (5,5) > f^' (6,5)

Agora acabou :)

Resposta

f^' (5,5) > f^' (6,5)