Questões de unicidade. No Capítulo 1, indicamos que nas aplicações a maioria dos problemas de valor inicial terá uma única solução. De fato, a existência de solução única foi tão importante que indicamos um teorema de existência e unicidade − Teorema 1, página 10. O método para equações separáveis pode nos dar uma solução, mas pode não nos dar todas as soluções (ver Problema 30). Para ilustrar isso, considere a equação dy/dx = y1/3.

  1. Use o método da separação de variáveis para mostrar que é uma solução.
  2. Mostre que o problema de valor inicial dy/dx = y1/3 com y(0) = 0 é satisfeito para C = 0 por y = (2x/3) 3/2 para x ≥ 0.
  3. Agora mostre que a função constante y ≡ 0 também satisfaz o problema de valor inicial dado no item (b). Assim, esse problema de valor inicial não tem uma solução única
  4. Finalmente, mostre que as condições do Teorema 1 na página 10 não são satisfeitas.

(A solução y ≡ 0 não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) Separando e integrando ambos os lados,

d y d x   =   y 1 \ 3

1 y 1 / 3 d y   =   d x

∫ 1 y 3 d y   =   ∫ d x

3 y 2 / 3 2   =   x   +   C 1

y 2 / 3   =   2 x 3 + 2 x 3 C 1

y 2 / 3   =   2 x 3 + C

y   =   ( 2 x 3 + C ) 3 / 2

Passo 2

b) Usando a condição de valor inicial y(0)=0,

y   =   ( 2 x 3 + C ) 3 / 2

0   =   ( 2 ( 0 ) 3 + C ) 3 / 2

0   =   C

Portanto,

y   =   ( 2 2 ) 3 / 2 para x   ≥ 0

Passo 3

c) para y   = 0 ,

d y d x = y 1 3

d ( 0 ) d x   =   ( 0 ) 1 3

0   ≡   0

d) d y d x   =   y 1 3 ,   y ( 0 )   =   0

Primeiro, verificamos a existência, onde,

f ( x , y )   =   y 1 3

inserindo a condição inicial, vemos que f(x,y) é contínua em torno de(0,0). Agora verificamos a unicidade, onde,

∂ f ∂ y   =   1 3 y 2 3

colocando na condição inicial, vemos que ∂ f ∂ y não é contínua em torno de (0,0). Portanto, as condições do Teorema 1 não são satisfeitas para este problema de valor inicial.

Resposta

  1. y   = ( 2 x 3 + C ) 2 3
  2. y   =   ( 2 x 3 ) 3 2     x ≥   0
  3. Ver o desenvolvimento.
  4. Ver o desenvolvimento.