Questões de unicidade. No Capítulo 1, indicamos que nas aplicações a maioria dos problemas de valor inicial terá uma única solução. De fato, a existência de solução única foi tão importante que indicamos um teorema de existência e unicidade − Teorema 1, página 10. O método para equações separáveis pode nos dar uma solução, mas pode não nos dar todas as soluções (ver Problema 30). Para ilustrar isso, considere a equação dy/dx = y1/3.
- Use o método da separação de variáveis para mostrar que é uma solução.
- Mostre que o problema de valor inicial dy/dx = y1/3 com y(0) = 0 é satisfeito para C = 0 por y = (2x/3) 3/2 para x ≥ 0.
- Agora mostre que a função constante y ≡ 0 também satisfaz o problema de valor inicial dado no item (b). Assim, esse problema de valor inicial não tem uma solução única
- Finalmente, mostre que as condições do Teorema 1 na página 10 não são satisfeitas.
(A solução y ≡ 0 não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação.)
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
(a) Separando e integrando ambos os lados,
Passo 2
b) Usando a condição de valor inicial y(0)=0,
Portanto,
para
Passo 3
c) para
d)
Primeiro, verificamos a existência, onde,
inserindo a condição inicial, vemos que f(x,y) é contínua em torno de(0,0). Agora verificamos a unicidade, onde,
colocando na condição inicial, vemos que não é contínua em torno de (0,0). Portanto, as condições do Teorema 1 não são satisfeitas para este problema de valor inicial.
Resposta
- Ver o desenvolvimento.
- Ver o desenvolvimento.