O raio dum cilindro circular reto cresce segundo um coeficiente de variação constante. A sua altura é uma função linear do raio e aumenta 3 vezes mais rapidamente que este. Quando o raio mede 1 pé, a altura mede 6 pés. Quando o raio mede 6 pés, o volume está aumentando na razão de 1 pé cúbico por segundo. Quando o radio mede 36 pés, o volume aumenta na razão de n pés cúbicos por segundo, com n inteiro. Determinar n

Passo 1

Bom, para começar essa questão vamos começar a interpretar os dados em forma matemática

Vamos denotar r como o raio do cilindro (da base) e h como a altura do mesmo

Quando o enunciado nos diz que a altura é uma função linear do raio que aumenta 3 vezes mais rápido que ele, podemos interpretar como:

h = 3 r + k  

Além disso ele nos diz que quando o raio mede 1 pé a altura mede 6 pés, substituindo na equação acima, achamos que k = 3

Passo 2

Agora a primeira informação “direta” já tiramos, vamos para as próximas.

Sabemos pelo enunciado que quando temos r= 6 pés o volume aumenta 1 pé cúbico por segundo, em termos matemáticos:

d V d t = 1   ,   p a r a   r = 6

Se r = 6, colocando na primeira equação achamos que h = 6(3) + 3 = 21 pés

Além disso, pela fórmula do volume do cilindro:

V =   π r 2 h   ,   d e r i v a n d o :

d V d t =   π r 2 d h d t + 2 π r h d r d t = 1

Sabemos que d h d t = 3 d r d t , pois no enunciado ele diz que a altura cresce 3 vezes mais que o raio.

1 =   π   36 3 d r d t + 2 π 6 21 d r d t

Daqui tiramos que:

d r d t = 1 360 π

Passo 3

Agora é só alegria, achamos tudo que podíamos, vamos para a parte final, que é achar n

“n” é a variação do volume quando r = 36pés, ou seja, queremos achar d V d t ,     q u a n d o   r = 36   p é s

Quando r = 36, temos h = 111 (só colocar na primeira equação)

d V d t =   π r 2 d h d t + 2 π r h d r d t

d V d t = n =   π 36 2 3 d r d t + 2 π 36 111 d r d t ,   u s a n d o   o d r d t a c h a d o :

n = 54 5 + 111 5 = 33   p é s   c ú b i c o s   p o r   s e g u n d o

Resposta

n = 33