A raiz cúbica de 27 é 3. Quanto maior é a raiz cúbica de 27.2? Dê uma estimativa usando a aproximação linear.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Se f é diferenciável em x = a e Δ x é bemmmm pequeno,

então Δ f   ≈   f ' ( a ) Δ x   ( 1 )

onde Δ f   =   f ( a   +   Δ x )   -   f ( a ) .

f ( a   +   Δ x )   ≈   f ( a )   +   f ' ( a ) Δ x     ( 2 )

Passo 2

nós precisamos estimar 16 . 5 1 / 4 - 1 6 1 / 4 e se compararmos com o teorema (1)

f ( x )   =   x 1 / 4 ,   a   =   16   e   Δ x   =   0.5

usando o teorema (1) Δ f   ≈   f ' ( a ) Δ x

f ( x )   =   x 1 / 4

f ' ( x )   =   d d x ( x 1 / 4 )

f ' ( x )   =   1 2 ( x ) 1 / 4 - 1

f ' ( x )   =   1 4 x 3 / 4

f ' ( 16 )   =   1 4 ∙ 1 6 3 / 4 = 0.03125

f ( a + Δ x )   ≈   f ( a )   +   f ' ( a ) Δ x

f ( 16 + 0.5 )   ≈   f ( 16 )   +   f ' ( 16 ) ∙ 0.5

16.5 1 / 4   ≈ 16 1 / 4 + 0.03125 ∙ 0.5

16 . 5 1 / 4 - 16 1 / 4 ≈ 0.015625

Uma calculadora diz que 16 . 5 1 / 4 - 16 1 / 4 ≈ 0.01544516 e por aproximação linear nós temos que 16 . 5 1 / 4 - 16 1 / 4 ≈ 0.015625

então o erro de aproximação é de | 0.15625 - 0.01544516 |   =   0.000179837

Resposta

erro de aproximação é de | 0.15625 - 0.01544516 |   =   0.000179837