Um recém-formado pegou emprestados R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 9% ao ano para comprar um apartamento. Prevendo constantes aumentos de salário, ele espera pagar a uma taxa mensal de 800(1 + t/120), onde t é o número de meses desde o início do empréstimo. a) Determine a quantia máxima que esse comprador pode financiar. b) Determine os juros totais pagos durante o financiamento.

Passo 1

No item a) deste exercício, podemos começar com o modelo do exemplo 2 da mesma seção. Neste modelo, o valor do investimento S(t) se relaciona com o valor r do juros e com o valor k pago por cada parcela, da seguinte forma:

S t = c e r t - k r

onde, usando o valor de contorno que nos informa que temos um valor S 0 de investimento inicial, temos S(0) = S 0

S 0 = c - k r ⟶ c = S 0 + k r

segue que S t = S 0 + k r e r t - k r . Para prosseguirmos, precisamos descobrir a taxa mensal, o problema é que temos apenas a taxa anual de 9%. Para resolver isso, vamos pensar da seguinte maneira: como estamos trabalhando com juros, cada mês temos uma nova aplicação dos juros, no caso de uma taxa anual a, cada mês contribuirá com a 1 / 12 e como estamos interessados apenas no valor da taxa (r), podemos escrevê-la da seguinte forma

r   =   1,09 1 / 12   –   1

onde o valor 1,09 aparece da aplicação da taxa de 9% (um aumento de 9% consiste numa multiplicação por 1,09) e a subtração por 1 pois queremos apenas o valor da taxa r.

Continuando, como o recém-formado pretende pagar com parcelas 800 ( 1 + t / 120 ) , temos que k   =   - 800 ( 1 + t / 120 ) , pois o valor total da “divida” cai com o tempo. Segue que podemos escrever

S t = S 0 - 800 1 + t 120 1,09 1 / 12   –   1 e ( 1,09 1 / 12   –   1 ) t   +   800 1 + t 120 1,09 1 / 12   –   1

como sabemos S 0 , basta procurarmos pelos valores que zeram essa equação acima. Vamos agora manipular um pouco, multiplicando os dois lados por 1,09 1 / 12   –   1

0 = 1,09 1 / 12 – 1 . 100000 . e ( 1,09 1 / 12   –   1 ) t - 800 1 + t 120 e ( 1,09 1 / 12   –   1 ) t + 800 1 + t 120

e passando alguns termos para a esquerda

1,09 1 / 12 – 1 . 100000 . e ( 1,09 1 / 12   –   1 ) t = 800 1 + t 120 e ( 1,09 1 / 12   –   1 ) t - 1

e tudo que precisamos fazer agora é resolver a equação acima.

Passo 2

Infelizmente a equação que encontramos não pode ser resolvida de um modo analítico, nos resta apelar para os métodos numéricos, vamos imaginar então o encontro entre duas funções, uma f(t) e outra g(t), onde elas são

f t = 1,09 1 / 12 – 1 . 100000 . e ( 1,09 1 / 12   –   1 ) t

g ( t )   =   800 1 + t 120 e ( 1,09 1 / 12   –   1 ) t - 1

isso significa que o recém-formado precisa de 97 meses para terminar de pagar.

Passo 3

Para o item b), precisamos resolver S(t = 240) = 0

0 = S 0 - 800 1 + 240 120 1,09 1 / 12   –   1 e ( 1,09 1 / 12   –   1 ) . 240 +     800 1 + 240 120 1,09 1 / 12   –   1

isolando S 0

S 0 = 2400 1,09 1 / 12 – 1 1 - e - ( 1,09 1 / 12   –   1 ) . 240

onde obtemos o valor S 0 = 273945,5 .

Resposta

a )   97   m e s e s .

b )   273945,5 reais.