Um recém-formado pegou emprestados a uma taxa de juros de ao ano para comprar um apartamento. Prevendo constantes aumentos de salário, ele espera pagar a uma taxa mensal de onde é o número de meses desde início do empréstimo.
a) Supondo que o programa de pagamento pode ser mantido. Quando o empréstimo estará quitado?
b) Supondo o mesmo programa de pagamento. Qual (deve ser a quantia emprestada para que seja paga em exatamente 20 anos?
Passo 1
Saudações galerinha! Tudo bem?
Neste exercício vamos relembrar uma coisa importante para esse exercício. A quantidade de dinheiro S(t) que o comprador tem que pagar muda no tempo devido a dois fatores:
- Juros compostos.
- Seus pagamentos contínuos
Até aí tudo bem?
Outras importantes análises serão as taxa.
- A taxa de crescimento para composição é
- A taxa de decaimento devido aos pagamentos contínuos é
Tranquilo?
Bora lá começar então!
Escrevendo a equação levando em consideração as taxas teremos que:
Isolando da equação vamos obter :
Substituindo os valores fornecidos no enunciados teremos nossa EDO descrita como:
Vamos parar um pouco para deixar uma coisinha clara!
O tempo está sendo fornecido em meses e está descrito em anos. Para deixar todos na mesma faixa temporal vou multiplicar .
Reescrevendo na EDO vamos obter:
Esta é uma EDO linear não homogênea de primeira ordem, então ela pode ser resolvida multiplicando ambos os lados por um fator de integração que chamarei de
Sabemos que então nosso fator de integração será escrito como:
Então vamos multiplicar ambos os lados por esse fator de integração. Beleza!
(
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo da equação para facilitar minha vida e rescrevendo minha queridinha, ela ficará assim:
Agora vamos resolver nossa linda equação diferencial integrando ambos lados.
Dividindo ambos os lados por , teremos que :
Simplificando ainda mais a equação:
Até aí tranquilo?
Quase acabando continua por aqui, beleza!
Aplicando a condição inicial e fazendo , vamos obter nossa constante de integração C :
Aplicando o valor de na linda equação diferencial teremos:
Firmeza, tudo bem?
Beleza, vamos continuar então!
Passo 2
Agora vamos encontrar o tempo para que esse financiamento seja quitado ou seja S(t)= 0.
Mas uma vez usaremos a linda EDO.
=
=
Passo 3
Neste item (b) devemos encontrar a quantia emprestada para que seja paga em exatamente. Beleza!
Bora lá colocar a mão na massa!
Primeiramente vamos inserir os valores do tempo.
Para os anos de financiamento, ele paga um total de cerca de:
Aplicando
Agora volta e substituir o novo valor da constante e encontrar o valor da quantia para quita o empréstimo.
Tranquilo? Quase acabando vamos lá.
Aplicando a condição inicial
Logo o valor emprestado será:
Ufa essa foi longa!
Te vejo na próxima questão!