Um recém-formado pegou emprestados R $ 100000,00 a uma taxa de juros de 9% ao ano para comprar um apartamento. Prevendo constantes aumentos de salário, ele espera pagar a uma taxa mensal de 800 * (1 + 1/120) onde t é o número de meses desde início do empréstimo.

a) Supondo que o programa de pagamento pode ser mantido. Quando o empréstimo estará quitado?

b) Supondo o mesmo programa de pagamento. Qual (deve ser a quantia emprestada para que seja paga em exatamente 20 anos?

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Neste exercício vamos relembrar uma coisa importante para esse exercício. A quantidade de dinheiro S(t) que o comprador tem que pagar muda no tempo devido a dois fatores:

  1. Juros compostos.
  2. Seus pagamentos contínuos

Até aí tudo bem?

Outras importantes análises serão as taxa.

  1. A taxa de crescimento para composição é r S
  2. A taxa de decaimento devido aos pagamentos contínuos é K

Tranquilo?

Bora lá começar então!

Escrevendo a equação levando em consideração as taxas teremos que:

d S d t = r S - K

Isolando K da equação vamos obter :

d S d t - r S = - K

Substituindo os valores fornecidos no enunciados teremos nossa EDO descrita como:

d S d t = 0,0075 S - 800 (   1   + t 120 )

Vamos parar um pouco para deixar uma coisinha clara!

O tempo está sendo fornecido em meses e r está descrito em anos. Para deixar todos na mesma faixa temporal vou multiplicar K   p o r   12 .

Reescrevendo na EDO vamos obter:

d S d t - 0,0075 S = - 800 -   20 t 3

Esta é uma EDO linear não homogênea de primeira ordem, então ela pode ser resolvida multiplicando ambos os lados por um fator de integração que chamarei de I

I = e x p ⁡ ( ∫ - r d s =   e - r t

Sabemos que r   =   0,0075 então nosso fator de integração será escrito como:

I = e x p ⁡ ( ∫ - r d s =   e - 0,0075 t

Então vamos multiplicar ambos os lados por esse fator de integração. Beleza!

e - 0,0075 t ( d S d t - 0,0075 S ) = ( - 800 -   20 t 3 ) e - 0,0075 t

d S d t e - 0,0075 t - 0.0075 S e - 0,0075 t = - 800 e - 0,0075 t - 20 t 3 e - 0,0075 t

Aplicando a regra do produto no lado esquerdo da equação para facilitar minha vida e rescrevendo minha queridinha, ela ficará assim:

d d t S e - 0,0075 t = - 800 e - 0,0075 t - 20 t 3 e - 0,0075 t

Agora vamos resolver nossa linda equação diferencial integrando ambos lados.

∫ S e - 0,0075 t   d t = ∫ ( - 800 e - 0,0075 t - 20 t 3 e - 0,0075 t ) d t

S e - 0,0075 t = 800 0,0085 e - 0,0075 t - 20 t 3 -   t e - 0,0075 t 0,0075 - e - 0,0075 t 0,0075 ² +   C

Dividindo ambos os lados por     e - 0,0075 t , teremos que :

S ( t ) = 800 0,0075 + 20 3 -   t 0,0075 - 1 0,0075 ² +   C e 0,0075 t

Simplificando ainda mais a equação:

S ( t ) = 888,889 t + 225185,185 +   C e 0,0075 t

Até aí tranquilo?

Quase acabando continua por aqui, beleza!

Aplicando a condição inicial S 0 =   R $ 100000   e fazendo t = 0   , vamos obter nossa constante de integração C :

S ( 0 ) = 888,889 . 0 + 225185,185 +   C e 0,0075 . 0  

1000000 - 225185,185 =     C e 0  

- 125185,185 =     C

Aplicando o valor de C na linda equação diferencial teremos:

S t = 888,889 t + 225185,185 - 125185,185 e 0,0075 t

Firmeza, tudo bem?

Beleza, vamos continuar então!

Passo 2

Agora vamos encontrar o tempo para que esse financiamento seja quitado ou seja S(t)= 0.

Mas uma vez usaremos a linda EDO.

S t = 888,889 t + 225185,185 - 125185,185 e 0,0075 t

0   = 888,889 t + 225185,185 - 125185,185 e 0,0075 t

- 225185,185   = 888,889 t - 125185,185 e 0,0075 t

- 225185,185 -   888,889 t =   - 125185,185 e 0,0075 t

ln ⁡ - 225185,185 -   888,889 t =   - 125185,185   .   0,0075 t

l n ⁡ | - 225185,185 888,889 t | = - 125185,185   .   0,0075 t

l n ⁡ | - 253,33 t | = - 125185,185   .   0,0075 t

t = 135,363   m e s e s

Passo 3

Neste item (b) devemos encontrar a quantia emprestada para que seja paga em exatamente. Beleza!

Bora lá colocar a mão na massa!

Primeiramente vamos inserir os valores do tempo.

Para os 20 anos de financiamento, ele paga um total de cerca de:

12   m e s e s   x   20 = 240   m e s e s   d o   f i n a n c i a m e n t o  

Aplicando S = 0

S ( t ) = 888,889 t + 225185,185 +   C e 0,0075 t

0 = 888,889 .   240 + 225185,185 +   C e 0,0075 . 240

0   = 888,889 .   240   + 225185,185 + C e 0,0075 .   240

0   = 438518,545 + C e 1,7

C = - 438518,545 6,0496

C =   -   72486,628

Agora volta e substituir o novo valor da constante e encontrar o valor da quantia para quita o empréstimo.

Tranquilo? Quase acabando vamos lá.

S t = 888,889 t + 225185,185 -   72486,628 e 0,0075 t

Aplicando a condição inicial t = 0

S 0 =   225185,185 -   72486 , 628

Logo o valor emprestado será:

S 0 = R $   152689,557  

Ufa essa foi longa!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

t = 135,363   m e s e s

S 0 = R $   152689,557