Um recipiente de água tem a forma dum cone circular reto com o vértice para baixo. A altura mede 10 pés e o raio da base 15 pés. A água sai pelo fundo à razão de c pés cúbicos por segundo. Calcular c de modo que o nível da água suba com velocidade de 4 pés por segundo no instante em que a profundidade da água é de 2 pés.

Passo 1

Bom, vamos começar essa questão já fazendo um desenho para nos auxiliar:

Agora vamos interpretar o que a questão nos passa.

Quando ela diz que a água sai pelo fundo à razão de 1 pé cúbico por segundo é equivalente a dizer que o volume varia de 1 pé cúbico por segundo, saindo por baixo, ou seja:

d V 2 d t = - 1 ,   o n d e   V 2   é   o   v o l u m e   d e   á g u a   n a   p a r t e   d o   f u n d o

Então temos que a água sai a uma razão de 1 pé cúbico por segundo e entra numa razão de c pés cúbicos por segundo, e no final, queremos que a resultante dessa “entrada – saída” seja +4 pés cúbicos por segundo.

Passo 2

Traduzindo para o matematiques, o que queremos é:

d V r e s u l t a n t e d t = V e n t r a d t - V s a i d t = c - 1

Logo, queremos que d V r e s u l t a n t e d t = c - 1   p é s s

Então basta acharmos c que achamos o que queremos

Passo 3

Vamos usar semelhança para relacionar r e h:

15 10 = r h     → r = 3 2 h   ,   l o g o d r d t = 3 2 d h d t

Sabemos que o volume de água, para uma altura h e um raio r é:

V = 1 3 π r 2 h   ,   d e r i v a n d o :

d V d t = 2 3 π r h d r d t + 1 3 π r 2 d h d t ,   s a b e m o s   q u e d h d t = 4   e d V d t = c - 1 :

Vamos usar r = 3   e   h = 2 ,   p o i s   a   r a z ã o   é   c o n s t a n t e ,   e n t ã o   p o d e m o s   s u p o r   i s s o

c - 1 =   2 3 π 2 3   ( 3 2 ∙ 4 ) + 1 3 π 9 4

L o g o ,   c = 36 π + 1   p é s   c ú b i c o s   p o r   s e g u n d o  

Resposta

c = 36 π + 1   p é s s