Enunciado

A região polar dentro do círculo r = 2 sen ⁡ θ e fora do círculo r = 1 é uma região polar simples dada pelas desigualdades

______________ ≤ r ≤ ______________ e _____________ ≤ θ ≤ ________________.

Passo 1

Olá galera! Para resolver esta questão precisamos encontrar dois intervalos: primeiro, o intervalo onde o raio varia e segundo, o intervalo onde o ângulo varia. É claro que o esboço desta região polar nos levará a encontrar os dois intervalos procurados. Segue o esboço desta região (os círculos determinados por r = 2 sen ⁡ θ e r = 1 foram chamados de C1 e C2 respectivamente):

Passo 2

Viu que o esboço da região procurada, nos deu o intervalo onde o raio varia de cara? Pelo estudo desta seção, sabemos que na região tracejada o raio estará entre os raios dos círculos C2 e C1, e isto corresponde ao intervalo

1 ≤ r ≤ 2 sen ⁡ θ

Passo 3

Hufaaa, só nos resta agora encontrar o último intervalo. Repare que se o raio comece a varrer a região esboçada no sentido anti-horário, as duas curvas só irão se intersectar duas vezes, no primeiro e segundo quadrante. Sendo assim, a nossa tarefa é encontrar estes dois pontos de interseção em termos de ângulos. A melhor coisa a fazer é igualar as duas equações polares, isto é, igualando os seus raios.

2 sen ⁡ θ = 1

sen ⁡ θ = 1 2

Como as duas curvas se interceptam duas vezes (no 1º Quadrante e no 2º Quadrante), então as soluções são

θ = π 6

e

θ = 5 π 6

Estas soluções nos mostram que o intervalo procurado é

π 6 ≤ θ ≤ 5 π 6

Resposta

1 ≤ r ≤ 2 sen ⁡ θ

π 6 ≤ θ ≤ 5 π 6

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