Repita o exercício 2, mas agora supondo que é o topo do triângulo que está 3 pés abaixo da superfície d’água.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – A função f ( y ) será linear e terá a seguinte forma

f y = a x + b

Onde a e b são números reais A largura no topo do triângulo é igual a 0 e como o topo do triângulo está 3 pés abaixo da superfície, logo, x = 3 , então temos o seguinte ponto ( 3,0 ) . Conectando isso na função obtemos

0 = a ∙ 3 + b

Além disso, na profundidade de y = 3 + 2 = 5 , a largura é igual a 1, então temos a segunda equação:

1 = 5 a + b

Resolvendo o sistema de equações, nós temos que

a = 1 2 ; b = - 3 2

Portanto, a largura do triângulo na profundidade y é igual a

f y = 1 2 y - 3 2 = 1 2 ( y - 3 )

Passo 2

B - A fórmula para encontrar a força do fluido é igual a

F = p A = w h A

Onde w é a densidade, h é a profundidade ou altura e A é a área de superfície. A altura/profundidade e o valor de y são iguais neste problema, então podemos substituir

h = y

Sabemos também que a densidade da água é:

w = 62,5 l b f t 3

Então tudo o que temos que encontrar é a área A do retângulo sombreado. Sabemos que a largura na altura h é igual a 1 2 ( y - 3 ) da parte a). E da figura, podemos ver que a altura do retângulo é igual a Δ y . Então plugando isso na fórmula para F temos:

F = w 1 2 y - 3 ∙ y ∙ Δ y

Passo 3

C – Da letra b), nós sabemos que em uma altura y, a força é igual a

F = w 1 2 y - 3 y Δ y

Então, se agora dividirmos toda a altura do retângulo em subintervalos menores

então a força de cada um desses intervalos é

F i = w 1 2 y i - 3 y i Δ y

Portanto, a força total é igual a

F = ∑ i = 0 n w 1 2 y i - 3 y i Δ y

Passo 4

D - Se n for infinitamente grande, essa soma convergirá para a integral que é igual a:

F =   ∫ 3 5 w 1 2 y - 3 y   d y

com os limites de 3 e 5, pois a altura máxima do triângulo é igual a 2 e o triângulo é 3 pés mais profundo do que no exercício anterior. Resolvendo a integral, nós temos que

F = ∫ 3 5 w 1 2 y - 3 y   d y

Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós obtemos a seguinte configuração

F = w ∫ 3 5 1 2 y 2 - 3 2 y   d y

Logo, a integral será igual a

F =   w y 3 3 - 3 y 2 2 3 5

Resolvendo os intervalos

F = w 5 3 6 - 3 ∙ 5 2 2 - 3 3 6 - 3 ∙ 3 2 2 = 13 3 w

Como w = 62,5   l b / f t 3 , F será igual a

F = 13 3 w ≈ 1625 6 l b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)