Representar as coordenadas polares dadas sujeitas à seguinte condição:

r ≤ 0; 0 ≤ θ < 2 * pi

Passo 1

  1. P = r ,   θ = 7 2 , π 4
  2. Fala, galera!

    O que ele quer aqui é que a gente descreva EXATAMENTE o nosso ponto P , mas obedecendo a essa restrição.

    Vamos aos poucos.

    Olha aqui onde está nosso ponto P , antes de qualquer modificação:

    Temos que nosso r = 7 2 e queremos um r ≤ 0 .

    Bora multiplicar ele por ( - 1 ) :

    r = - 7 2

    Agora nosso ponto veio para cá, e NÃO é o que queremos!!!

    Nós queremos que ele se mantenha no MESMO lugar, apenas desejamos escrever o ponto de um jeitinho diferente, beleza?

    Observe que se “andarmos” 180 ° , no sentido anti-horário, o ponto volta para seu lugar de origem:

    45 ° + 180 ° = 225 °

    E verificando a nossa condição, 0 ≤ θ < 2 π :

    0 ° ≤ 225 ° < 360 °

    Ufa! Podemos usar este ângulo.

    Passando ele para radianos:

    θ = 225 π 180 = 5 π 4   r a d i a n o s

    E podemos reescrever nosso pondo assim:

    P = - 7 2 , 5 π 4

    Passo 2

  3. P = r ,   θ = 2 ,   - π 3
  4. Olha aqui onde está nosso ponto P , antes de qualquer modificação:

    Temos que nosso r = 2 e queremos um r ≤ 0 .

    Bora multiplicar ele por ( - 1 ) :

    r = - 2

    Agora nosso ponto veio para cá, e NÃO é o que queremos!!!

    Nós queremos que ele se mantenha no MESMO lugar, apenas desejamos escrever o ponto de um jeitinho diferente, beleza?

    Antes de mexer no ângulo, vamos reescrever ele na forma positiva, ou seja, usando seu ângulo congruente:

    - 60 ° + 360 ° = 300 °

    Agora observe que se “andarmos” 180 ° , no sentido horário, o ponto volta para seu lugar de origem:

    300 ° - 180 ° = 12 0 °

    E verificando a nossa condição, 0 ≤ θ < 2 π :

    0 ° ≤ 120 ° < 360 °

    Ufa! Podemos usar este ângulo.

    Passando ele para radianos:

    θ = 120 π 180 = 2 π 3   r a d i a n o s

    E podemos reescrever nosso pondo assim:

    P = - 2 , 2 π 3

    Passo 3

  5. P = r ,   θ = 6 , - 2 π 3
  6. Olha aqui onde está nosso ponto P , antes de qualquer modificação:

    Temos que nosso r = 6 e queremos um r ≤ 0 .

    Bora multiplicar ele por ( - 1 ) :

    r = - 6

    Agora nosso ponto veio para cá, e NÃO é o que queremos!!!

    Nós queremos que ele se mantenha no MESMO lugar, apenas desejamos escrever o ponto de um jeitinho diferente, beleza?

    Antes de mexer no ângulo, vamos reescrever ele na forma positiva, ou seja, usando seu ângulo congruente:

    - 12 0 ° + 360 ° = 240 °

    Agora observe que se “andarmos” 180 ° , no sentido horário, o ponto volta para seu lugar de origem:

    24 0 ° - 180 ° = 6 0 °

    E verificando a nossa condição, 0 ≤ θ < 2 π :

    0 ° ≤ 6 0 ° < 360 °

    Ufa! Podemos usar este ângulo.

    Passando ele para radianos:

    θ = 6 0 π 180 = π 3   r a d i a n o s

    E podemos reescrever nosso pondo assim:

    P = - 6 , π 3

    Passo 4

  7. P = r ,   θ = 5 2 , 3 π 4
  8. Olha aqui onde está nosso ponto P , antes de qualquer modificação:

    Temos que nosso r = 5 2 e queremos um r ≤ 0 .

    Bora multiplicar ele por ( - 1 ) :

    r = - 5 2

    Agora nosso ponto veio para cá, e NÃO é o que queremos!!!

    Nós queremos que ele se mantenha no MESMO lugar, apenas desejamos escrever o ponto de um jeitinho diferente, beleza?

    Observe que se “andarmos” 180 ° , no sentido anti-horário, o ponto volta para seu lugar de origem:

    135 ° + 180 ° = 31 5 °

    E verificando a nossa condição, 0 ≤ θ < 2 π :

    0 ° ≤ 31 5 ° < 360 °

    Ufa! Podemos usar este ângulo.

    Passando ele para radianos:

    θ = 31 5 π 180 = 7 π 4   r a d i a n o s

    E podemos reescrever nosso pondo assim:

    P = - 5 2 , 7 π 4

    Passo 5

  9. P = r ,   θ = 7 , π 2
  10. Olha aqui onde está nosso ponto P , antes de qualquer modificação:

    Temos que nosso r = 7 e queremos um r ≤ 0 .

    Bora multiplicar ele por ( - 1 ) :

    r = - 7

    Agora nosso ponto veio para cá, e NÃO é o que queremos!!!

    Nós queremos que ele se mantenha no MESMO lugar, apenas desejamos escrever o ponto de um jeitinho diferente, beleza?

    Observe que se “andarmos” 180 ° , no sentido anti-horário, o ponto volta para seu lugar de origem:

    90 ° + 180 ° = 270 °

    E verificando a nossa condição, 0 ≤ θ < 2 π :

    0 ° ≤ 270 ° < 360 °

    Ufa! Podemos usar este ângulo.

    Passando ele para radianos:

    θ = 270 π 180 = 3 π 2   r a d i a n o s

    E podemos reescrever nosso pondo assim:

    P = - 7 , 3 π 2

    Passo 6

  11. P = r ,   θ = 2 ,   π

Olha aqui onde está nosso ponto P , antes de qualquer modificação:

Temos que nosso r = 2 e queremos um r ≤ 0 .

Bora multiplicar ele por ( - 1 ) :

r = - 2

Agora nosso ponto veio para cá, e NÃO é o que queremos!!!

Nós queremos que ele se mantenha no MESMO lugar, apenas desejamos escrever o ponto de um jeitinho diferente, beleza?

Observe que se “andarmos” 180 ° , no sentido anti-horário, o ponto volta para seu lugar de origem:

180 ° + 180 ° = 36 0 °

E verificando a nossa condição, 0 ≤ θ < 2 π :

0 ° ≤ 36 0 ° < 360 °

Ufa! Podemos usar este ângulo.

Passando ele para radianos:

θ = 36 0 π 180 = 2 π   r a d i a n o s

E podemos reescrever nosso pondo assim:

P = - 2 ,   2 π

Agora acabou! :)

Resposta

  1. P = - 7 2 , 5 π 4
  2. P = - 2 ,   2 π 3
  3. P = - 6 ,   π 3
  4. P = - 5 2 , 7 π 4
  5. P = - 7 , 3 π 2
  6. P = ( - 2 ,   2 π )