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Resolva

(d x)/(d t) = x t

Passo 1

Uma das primeiras formas que encontramos para resolver nossas equações diferenciais é escreve-la na forma de variáveis separáveis

(d y)/(d x) = g (x) h ( y )

E assim escreve-la da seguinte forma

(d y)/(h (y)) = g (x) d x

Daqui é só um passo para resolvemos.

Passo 2

Olhando para nossa equação, já temos que nos considerar com sorte que ela já vem da forma separável. Assim temos que nossa equação pode se reescrita como definimos no passo 1, ou seja

(d x)/(d t) = x t -> (d x)/(x) = t d t

Agora vamos integrar em ambos os lados.

int (d x)/(x) = int t d t

Na integral da esquerda o que devemos saber? Que

int (f^' (x))/(f (x)) d x = ln f ( x )

Como temos f (x) = x e f^' (x) = 1 , então

int (d x)/(x) = ln x

Assim ficamos com

ln x = (t^2)/(2) + c

Passando o l n para o outro lado, temos

x = e^((t^2)/(2) + c) = e^((t^2)/(2)) * e^c = K e^(t^2 // 2)

Resposta

x = K e^(t^2 // 2)

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