Resolva:

1 * 5^x + 25 * 5^(-x) = 26 3 * 2^(x + 1) - 16 ≤ 0 5 * (2^x - 2) * (1 / 5^x - 1) < 0

2 · (2^x)^2 = 16 4 · (3^x) > 1 / 9 6 · (2^(2x + 1)) ≥ 5^(1 - x)

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certo?

Vamos resolver essas equações exponenciais?!

Para simplificar faremos em cada passo a resolução de um item.

Começando pelo item 1.

5^x + 25 . 5^(- x) = 26

Vamos multiplicar 5^x de ambos os lados da igualdade temos,

5^x (5^x + 25.5^(- x)) = 26 . 5^x

(5^x)^2 + 25 = 26 . 5^x

(5^x)^2 - 26.5^x + 25 = 0

Definindo 5^x = b , segue

b^2 - 26 b + 25 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau pela soma e produto

b^' + b " = - (( - 26 ))/(1) = 26

b^' . b " = (25)/(1) = 25

:. b^' = 1 e b " = 25

Voltando a igualdade 5^x = b

5^x = b^' e 5^x = b ”

=> 5^x = 1 e 5^x = 25

=> 5^x = 5^0 e 5^x = 5^2

<=> x = 0 e x = 2

Portanto, S = {2,0} .

Passo 2

No item 2 temos,

(2^x)^2 = 16

Como 16 = 2^4 , segue

( 2^x )^2 = 2^4

sqrt((2^x)^2) = sqrt(2^4)

2^x = +- 2^2

2^x = +- 4

No entanto, como a função exponencial somente toma valores positivos, 2^x = - 4 não possui solução.

Por outro lado, 2^x = 4 => x = 2 .

Logo, S = { 2 } .

Passo 3

No item 3, resolvendo a inequação

2^(x + 1) - 16 <= 0

2^(x + 1) <= 16

2^(x + 1) <= 2^4

<=> x + 1 <= 4

<=> x <= 3

Temos que S = {x | x <= 3} = (- oo , 3] .

Passo 4

No item 4, como 3^(- 2) = 9^(- 1) temos que

3^x > (1)/(9)

3^x > (1)/(3^2)

3^x > 3^(- 2)

<=> x > - 2

Portanto S = {x | x > 2} = ( - 2 , oo ) .

Passo 5

No item 5, multiplique de ambos os lados da desigualdade por (1)/(2^x - 2) ,

(2^x - 2) ((1)/(5^x) - 1) < 0

((1)/(2^x - 2)) (2^x - 2) ((1)/(5^x) - 1) < 0 . ( (1)/(2^x - 2) )

=> ((1)/(5^x) - 1) < 0

=> 5^(- x) < 1

<=> x < 0

o u (1)/(2^x - 2) < 0

=> 2^x - 2 > 0

=> 2^x > 2

<=> x > 1

Portanto, S = {x | x > 1 o u x < 0} = (- oo , 0) uuu (1 , + oo) .

Passo 6

E por fim no item 6 temos,

2^(2 x + 1) >= 5^(1 - x)

Fazendo a operação de log_10 a = log a em ambos os lados temos

log 2^(2 x + 1) >= log 5^(1 - x)

(2 x + 1) log 2 >= (1 - x) log 5

log 4 x + log 2 >= log 5 - log 5 x

log 4 x + log 5 x >= log 5 - log 2

x ( log 4 + log 5 ) >= log (5)/(2)

x ( log 4.5 ) >= log (5)/(2)

x log 20 >= log (5)/(2)

x >= (log (5)/(2))/(log 20)

x >= log_20 5 // 2

Portanto, S = {x| x >= log_20 (5)/(2) } = [ log_20 (5)/(2) , oo ) .

Resposta

  1. S = {2,0} . 2. S = { 2 } . 3. S = {x | x <= 3} .
  1. S = {x | x > 2} . 5. S = {x | x > 1 o u x < 0} . 6. S = {x| x >= log_20 (5)/(2) } .