Resolva.

1 . 2^x = 1 / 8 4 * 2^x = 5^(1 - x) 7 . log_8(-x) > 0

2 . log_{10}(x + 3) = 3 5 . log2(x^2 + 1) = -2 8 * log_3(x^2 - 2x) < 1

3 * 3^(x^2) = 1 / (3^x) 6.3 + log_2(1/2 - x) = log_2((x - 9) / (x + 1))

Passo 1

Falaaaa estudante,

bora lá resolver essas questões de exponencial e logaritmo?!

Para a resolução dos exercícios utilizaremos as principais propriedades de exponencial e logaritmo.

Passo 2

Começaremos resolvendo do item 1 ao 4 .

1 . 2^x = (1)/(8) 2 . l o g_10 ( x + 3 ) = 3

2^(x ) = (1)/(2^3) <=> x + 3 = 1 0^(3 )

2^(x ) = 2^(- 3) x + 3 = 1000

<=> x = - 3 x = 1000 - 3 = 997

Logo S = { - 3 } Logo S = { 997 }

3 . 3^(x^2) = (1)/(3^x) 4 . 2^x = 5^(1 - x)

3^(x^2) = 3^(- x) l o g_2 2^x = l o g_2 5^(1 - x)

<=> x^(2 ) = - x x = ( 1 - x ) l o g_2 5

x^2 + x = 0 x = l o g_2 5 - x l o g_2 5

x ( x + 1 ) = 0 x + x l o g_2 5 = l o g_2 5

o u x = 0 o u x + 1 = 0 x ( 1 + l o g_2 5 ) = l o g_2 5

=> o u x = 0 o u x = - 1 x = (l o g_2 5)/(1 + l o g_2 5)

Logo S = { - 1,0 } Logo S = { (l o g_2 5)/(1 + l o g_2 5) }

Passo 3

5 . l o g_2 ( x^2 + 1 ) = - 2

<=> x^2 + 1 = 2^(- 2)

x^2 = (1)/(2^2) - 1

x^2 = (1)/(4) - 4

x^2 = (1 - 16)/(4)

x = +- sqrt((- 15)/(4))

Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais S = Ø . 6 . 3 + l o g_2 ( (1)/(2) - x ) = l o g_2 ( (x - 9)/(x + 1) )

l o g_2 2^3 + l o g_2 ( (1)/(2) - x ) = l o g_2 ( (x - 9)/(x + 1) )

l o g_2 8 ( (1)/(2) - x ) = l o g_2 ( (x - 9)/(x + 1) )

8 ( (1)/(2) - x ) = (x - 9)/(x + 1)

( 4 - 8 x ) ( x + 1 ) = x - 9

4 x + 4 - 8 x^2 - 8 x = x - 9

- 8 x^2 - 4 x - x = - 9 - 4 - 8 x^2 - 5 x + 13 = 0

Delta = ( - 5 )^2 - 4 . ( - 8 ) . 13

= 25 + 416

= 441

x = (- ( - 5 ) +- sqrt(441))/(2 ( - 8 ))

x = (5 +- 21)/(- 16) => x ' = - (13)/(8) x " = 1

No entanto veja que x = 1 => ( (1)/(2) - x ) = - (1)/(2) e l o g_2 (- 1)/(2) não existe. Logo S = { - (13)/(8) } .

7 . l o g_8 ( - x ) > 0

- x > 8^0

- x > 1

x < - 1

Logo S = ( - oo , - 1 )

8 . l o g_3 ( x^2 - 2 x ) < 1

x^(2 ) - 2 x < 3

x^(2 ) - 2 x - 3 < 0

Delta = ( - 2 )^2 - 4.1 . ( - 3 )

= 4 + 12

= 16

x = (- ( - 2 ) +- sqrt(Delta))/(2 . 1)

x = (2 +- sqrt(16))/(2) => x ' = 3 e x " = - 1

e para que a função l o g_2 ( x^2 - 2 x ) exista

x^2 - 2 x > 0

x ( x - 2 ) > 0

x > 0 o u x - 2 > 0

x > 0 o u x > 2

Dessa forma S = ( - 1,0 ) uu_()^() ( 2,3 ) .

Resposta

1 . S = { - 3 } 4 . S = { (l o g_2 5)/(1 + l o g_2 5) } 7 . S = ( - oo , - 1 ) 2 . S = { 997 } 5 . S = Ø . 8 . S = ( - 1,0 ) uu_()^() ( 2,3 ) .

3 . S = { - 1,0 } 6 . S = { - (13)/(8) }