Enunciado

Resolva

x ˙ = x - y y ˙ = - x + y

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar os casos mostrados no capítulo para encontrarmos as soluções gerais da nossa EDO. Vamos precisar lembrar como se calcula os autovalores e autovetores associados, pela relação:

a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0     a u t o v a l o r e s

e

a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ ⋅ m n = 0     ( a u t o v e t o r e s )

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar analisando nosso sistema: como a 12 e a 21 são diferentes de zero, caíremos pro caso 2 ou 3 vistos no livro. Vamos calcular os autovalores para ver.

a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = | 1 - λ - 1 - 1 1 - λ = 0

λ 2 - 2 λ = 0

Resolvendo por bhaskara, vamos chegar que λ 1 = 2 e λ 2 = 0 . Então caímos no caso 2, onde os autovalores são diferentes. Calculando nossos autovetores para λ 1 então, teremos que:

1 - 2 - 1 - 1 1 - 2 ⋅ m n = 0

- m - n = 0

- m - n = 0

Assim, nosso autovetor para λ 1 é:

m n = m - m = m 1 - 1

Nos dando que nossa primeira solução é:

k 1 1 - 1 e 2 t

Para λ 2 , teremos que:

1 - 0 - 1 - 1 1 - 0 ⋅ m n = 0

m - n = 0

- m + n = 0

Nos dando que m = n e que nosso autovetor é:

m n = m m = m 1 1

Assim, nossa solução geral fica então como:

x y = k 1 1 - 1 e 2 t + k 2 1 1

Resposta

x y = k 1 1 - 1 e 2 t + k 2 1 1

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