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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1d

Resolva

{[[overset(˙)(x) = y],[overset(˙)(y) = - 4 x + 4 y]])

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar os casos mostrados no capítulo para encontrarmos as soluções gerais da nossa EDO. Vamos precisar lembrar como se calcula os autovalores e autovetores associados, pela relação:

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) = 0 (a u t o v a l o r e s)

e

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) * ([[m],[n]]) = 0 ( a u t o v e t o r e s )

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar analisando nosso sistema: como a_12 e a_21 são diferentes de zero, caíremos pro caso 2 ou 3 vistos no livro. Vamos calcular os autovalores para ver.

|[[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]| = |[[0,-,lambda,1],[-,4,4,-,lambda]]| = 0

lambda^2 - 4 lambda + 4 = 0

Resolvendo por bhaskara, vamos chegar que lambda_1 = 2 e lambda_2 = 2 . Então caímos no caso 3, onde os autovalores são iguais. Calculando nossos autovetores para lambda_1 então, teremos que:

([[0,-,2,1],[-,4,4,-,2]]) * ([[m],[n]]) = 0

- 2 m + n = 0

- 4 m + 2 n = 0

Assim, nosso autovetor para lambda_1 é:

([[m],[n]]) = ([[m],[2 m]]) = m ([[1],[2]])

Nos dando que nossa primeira solução é:

k_1 ([[1],[2]]) e^(2 t)

Para a segunda solução, temos que pelo caso 3 ela será dada por:

k_2 {[[[m_2],[n_2]]] + t [[[m_1],[n_1]]]} e^(lambda_1 t)

Sendo que:

([[-,2,1],[-,4,2]]) * ([[m_2],[n_2]]) = ([[1],[2]])

Resolvendo esse sistema, vamos chegar que:

- 2 m_2 + n_2 = 1

Se tormarmos m_2 = 1 vamos ter que:

n_2 = 1 + 2 = 3

Assim, nossa solução geral fica então como:

[[[x],[y]]] = k_1 [[[1],[2]]] e^(2 t) + k_1 {[[[1],[2]]] + t [[[1],[3]]]} e^(2 t)

Resposta

[[[x],[y]]] = k_1 [[[1],[2]]] e^(2 t) + k_1 {[[[1],[2]]] + t [[[1],[3]]]} e^(2 t)

Ver Outros Exercícios desse livro