Resolva a equação do calor k_u(xx) = u_t . 0, 0 < x < 1, t > 0 sujeita às condições dadas.

u(0, t) = u_0, u(1, t) = 0

u(x, 0) = f(x)

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a equação do calor sabendo que

k u x x = u t 0 < x < 1 ,   t > 0

u 0 , t = u 0 ,     u 1 , t = 0

u x , 0 = f ( x )

Mas antes de realiza-la temos que nos lembrar das etapas para encontrar esta equação, você se lembra? Não? Então vem com seu amigão do responde aí rsrs.

1- Vamos assumir u x , t = x x . t ( t )

2- Substituir na equação de calor

3- Separar as variáveis

4- Igualar a = - λ

5- Depois resolver as EDO’S separadas para T ( t ) e outra para x ( x )

Para no fim colocarmos na formula geral

u x , t = 2 L   ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 L f x . sin ⁡ n π x L .   e - k λ t . sin ⁡ n π x L

Assusta né? Mas confia no seu amigão e vem comigo

Passo 2

Primeiro precisamos assumir que,

u x , t = x x . t ( t ) , ficando

K u x x = u t → K x ' ' . t = x . t '

t ' k t = x ' ' x = - λ x ' ' x = - λ

t ' k t = - λ x 2 = - λ x

t ' = - λ k t x 2 + λ x = 0

t = e - λ k x = - λ

Ficando x < 0 sendo imaginária

u x , t = c 1 . e α t . cos ⁡ ( λ t ) + c 2 . e α t sin ⁡ ( λ t )

Agora precisamos saber se ele vai ser trivial ou não trivial e achar o valor de λ

Passo 3

u 0 , t = c 1 . cos ⁡ ( 0 ) + c 2 . sin ⁡ 0 = 100

c 1 = u 0

u x , 0 = u 0 . cos ⁡ ( 0 ) + c 2 . sin ⁡ 0 = 0

u x , 0 = c 2 . sin ⁡ ( λ t )

Agora se liga no pulo do gato, precisamos que ele seja não trivial e para isso,

sin ⁡ λ t = 0 → λ 2 = n π x 2 → λ = n π x 2

Ficando no final,

u x , t = 2 ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 f x   sin ⁡ n π x e - k n π x 2 t sin ⁡ n π x

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

u x , t = 2 ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 f x   sin ⁡ n π x e - k n π x 2 t sin ⁡ n π x