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Resolva a equação dada:

(c) overset(¨)(x) + 9 x = 2 cos (3 t) + 9

Passo 1

Observe que se trata de uma EDL do 2º grau não-homogênea, portanto a solução geral para ela é dada por:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

Considerando a seguinte equação auxiliar:

m^2 + 9 = 0

Obtemos trivialmente duas raízes complexas:

m_1 = 0 - 3 i e m_2 = 0 + 3 i

Com a = 0 e b = 3

Logo, a solução homogênea será:

x_h (t) = C_1 cos (3 t) + C_2 sin (3 t)

Passo 3

Agora, levando em consideração que g (t) = 2 cos (3 t) + 9 pode ser entendido como a soma de duas funções, trigonométrica e polinomial.

Portanto, devemos esperar que elas apareçam também na solução particular, logo convém propormos uma solução do tipo:

x_p (t) = A cos (3 t) + B sin (3 t) + (C t + D)

Mas repare que a solução trigonométrica já existe em x_h , portanto devemos supor outra solução:

x_p (t) = A t cos (3 t) + B t sin (3 t) + C t + D

De onde encontramos:

x_p^' (t) = cos (3 t) (A + 3 B t) + sin (3 t) (B - 3 A t) + C

E

x_p^(' ') (T) = cos (3 t) (6 B - 9 A t) - sin (3 t) (6 A + 9 B t)

Substituindo na equação original e simplificando, obtemos:

(6 B) cos (3 t) - (6 A) sin (3 t) + 9 C t + 9 D = 2 cos (3 t) + 9

Relacionando ambos os lados da igualdade:

6 B = 2 -> B = (1)/(3)

A = 0 , C = 0

9 D = 9 -> D = 1

Então a solução particular assume a seguinte forma:

x_p (t) = (1)/(3) t sin (3 t) + 1

Resposta

Concluimos então que a solução geral, dada pela soma das soluções homogênea e particular, será:

x (t) = C_1 cos (3 t) + C_2 sin (3 t) + (1)/(3) t sin (3 t) + 1

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