Resolva a equação de derivadas parciais (1) sujeita às condições indicadas

u(0, t) = u_0, u(1, t) = u_0

u(x, 0) = 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para resolvermos as equações derivadas parciais, sabendo que,

u 0 , t = u 0 ,       u 1 , t = u 0

u x , 0 = 0

Lembrando que para derivadas parciais devemos saber que

k d 2 u d x 2 + r = d u d t  

Sendo,

u 0 , t = x 0 . t t = k 1

u L , t = x L . t t = k 2

Passo 2

Sabendo que,

u 0 , t = u 0 ,       u 1 , t = u 0

u x , 0 = 0

Vamos ter que,

k d 2 u d x 2 + r = d u d t  

k   Ψ ' ' + r = 0         o u     Ψ ' ' = - r k

  Ψ ' ' x = r 2 k x 2 + c 1 x + c 2

u 0 , t = v 0 , t .   Ψ ' ' 0 = u 0

u 1 , t = v ( 1 , t ) . Ψ ' ' 0 = u 0

Ficando com,

u x , t = u 0 - r 2 k   x x - 1 + 2   ∑ n = 1 ∞ u 0 n π + r k n 3 π 3

x - 1 n - 1 e - k n 2 π 2 t sin ⁡ n π x

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

u x , t = u 0 - r 2 k   x x - 1 + 2   ∑ n = 1 ∞ u 0 n π + r k n 3 π 3

x - 1 n - 1 e - k n 2 π 2 t sin ⁡ n π x