Resolva a equação diferencial :

dy/dx = (x - e^(-x)) / (y + e^(y))

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Neste exercício vamos aplicar o método de separação de variáveis para resolver esse problema. Tranquilo!

Bora lá começar então!

(d y)/(d x) = (x - e^(- x))/(y + e^y)

Também pode ser escrito como:

(y + e^y) d y = d x ( x - e^(- x) )

Agora vamos resolver nossa linda equação diferencial integrando de ambos os lados

int (y + e^y) d y = int ( x - e^(- x) ) d x

Até aí tranquilo?

Aplicando a propriedade da integral:

int y d y + int e^y d y = int x d x - int e^(- x) d x

Vamos resolver cada uma separadamente. Beleza!

int y d y = (y ²)/(2)

int e^y d y = e^y

int x d x = (x^2)/(2)

- int e^(- x) d x = e^(- x)

Agora vamos juntar nossas informações. Tranquilo!

int y d y + int e^y d y = int x d x - int e^(- x) d x

(y ²)/(2) + e^y = (y^2)/(2) + e^(- x)

Te vejo na próxima questão!

Resposta

(y ²)/(2) + e^y = (y^2)/(2) + e^(- x)