Resolva a equação diferencial e, então, use um recurso computacional para gerar cinco curvas integrais para a equação.

( c o s c o s   y )   y '   = c o s c o s   x  

Passo 1

Uma forma bem fácil de resolver essa questão é utilizar o método de Separação de Variáveis para obter uma equação e depois gerar possíveis curvas.

Logo, primeiro vamos colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”, substituindo y’= d y d x   e arrumando os termos, temos:

( c o s c o s   y )   d y d x   = c o s c o s   y x             →         c o s c o s   y   d y = c o s c o s   x   d x  

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ c o s c o s   y   d y   =   ∫ c o s c o s   x   d x s e n   y = s e n   x + C       →       y = s e n - 1 s e n   x + C                 ( 1 )

Passo 2

Aqui nós temos que entender uma coisa, a equação (1) não necessariamente a única que pode expressar o valor de y, pois como estamos tratando de uma função periódica, se somarmos 360°=2π à qualquer ângulo, voltaremos ao mesmo lugar.

Para ficar mais fácil de entender, imagine em um relógio nós queremos vê o ponteiro dos minutos passando pelo número “12” e completando uma hora inteira, assim como a figura abaixo mostra

É claro que podemos visualizar o ponteiro dos minutos em cima do número “12” a cada hora, independente de quantas voltas o ponteiro dê.

Assim é a função seno, ou seja, se somarmos ou subtrairmos “n” voltas da função (1), temos a mesma posição, logo:

y = s e n - 1 s e n   x + C         o u       y = 2 π * n + s e n - 1 s e n   x + C         o u         y = 2 π * n - s e n - 1 s e n   x + C

Mas como cada integral fica no espaço superior ou inferior, teremos as equações:

y = π - s e n - 1 s e n   x + C                   2                           e                           y = s e n - 1 s e n   x + C                   ( 3 )

Passo 3

E por último, utilizaremos as equações (2) e (3) para determinar possíveis valores de “C”, estes estão na tabela abaixo

Depois disso, basta aplicar essas equações em um recurso computacional e obteremos as seguintes curvas

Resposta