Enunciado

Resolva a equação diferencial e, então, use um recurso computacional para gerar cinco curvas integrais para a equação.

( x 2 + 4 ) d y d x + x y = 0

Passo 1

Uma forma bem fácil de resolver essa questão é utilizar o método de Separação de Variáveis para obter uma equação e depois gerar possíveis curvas.

Logo, primeiro vamos colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”, arrumando os termos, temos:

d y d x = - x y ( x 2 + 4 )       →       1 y d y = - x ( x 2 + 4 ) d x

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 1 y d y   =   ∫ - x ( x 2 + 4 ) d x l o g l o g   y = - 1 2   l o g l o g   x 2 + 4   + C

Elevamos os dois lados da equação à função logarítmica para isolarmos o y:

y = C x 2 + 4                 ( 1 )

Passo 2

A partir da equação (1), podemos aplicar cinco possíveis valores positivos e negativos para “C” e obter diferentes curvas. A tabela a seguir mostra alguns valores típicos de “C”:

Passo 3

Depois disso, basta aplicar essas equações em um recurso computacional e obteremos as seguintes curvas

Resposta

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