Resolva a equação diferencial pelo método dos fatores integrantes.

d y d x + 2 x y = x .

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, é possível determinar os coeficientes P(x)=2x e Q(x)=x.

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d x . Substituindo, temos:

u = e ∫ 2 x   d x u = e x 2 .

Passo 3

E por último é só aplicar os valores obtidos na fórmula simplificada: u * y =   ∫ ( u * Q x )   d x . Portanto:

e x 2 * y   =   ∫ ( e x 2 *   x ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

e x 2 * y =   e x 2 2 + C .

Isolando o “y”:

y =   e x 2   +     2 C 2 e x 2   =   1 2 + C e x 2 =     1 2 + C * e x - 2 .

Resposta

y =     1 2 + C * e x - 2