Resolva a equação diferencial pelo método dos fatores integrantes.

y' + y = cos(e^x) .

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, considerando que y ' = d y d x , é possível determinar os coeficientes P(x)=1 e Q(x)= c o s ( e x ) .

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d x . Substituindo, temos:

u = e ∫ 1   d x u = e x .

Passo 3

E por último é só aplicar os valores obtidos na fórmula: u * y =   ∫ ( u * Q x )   d x . Portanto:

e x     * y   =   ∫ ( e x   *   c o s ( e x ) ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

e x * y =   s e n ( e x ) + C .

Isolando o “y”:

y =   s e n ( e x ) + C e x   = e x * s e n ( e x ) + e x * C .

Resposta

y = e x * s e n ( e x ) + e x * C