Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 8.4 - Ex. 4

Resolva a equação diferencial pelo método dos fatores integrantes.

2 d y d x + 4 y = 1 .

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, dividindo todos os termos por 2, temos:

d y d x + 2 y = 1 2 .

A partir disso é possível determinar os coeficientes P(x)=2 e Q(x)= 1 2 .

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d x . Substituindo, temos:

u = e ∫ 2   d x u = e 2 x .

Passo 3

E por último é só aplicar os valores obtidos na fórmula: u * y =   ∫ ( u * Q x )   d x . Portanto:

e 2 x     * y   =   ∫ ( e 2 x   *   1 2 ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

e 2 x * y =   e 2 x 4 + C .

Isolando o “y”:

y =   e 2 x +   4 C 4 e 2 x   = 1 4 + C e 2 x = 1 4 + C * e - 2 x .

Resposta

y =   e 2 x +   4 C 4 e 2 x   = 1 4 + C e 2 x = 1 4 + C * e - 2 x

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