Enunciado

Resolva a equação diferencial pelo método dos fatores integrantes.

x 2 + 1 d y d x + x y = 0 .

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, dividindo todos os termos por x 2 + 1 , temos:

d y d x + x y x 2 + 1 = 0 .

A partir disso é possível determinar os coeficientes P(x)= x x 2 + 1 e Q(x)= 0 .

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d x . Substituindo, temos:

u = e ∫ x x 2 + 1   d x u = e 1 2 * l o g ⁡ ( x 2 + 1 ) =   e l o g ⁡ ( x 2 + 1 ) 1 2 .

Pela propriedade de logaritmo, log de base “e” é o próprio logaritmando. Assim:

u = ( x 2 + 1 ) 1 2 ou u = x 2 + 1

Passo 3

E por último é só aplicar os valores obtidos na fórmula: u * y =   ∫ ( u * Q x )   d x . Portanto:

x 2 + 1     * y   =   ∫ ( x 2 + 1   *   0 ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e sabendo que a integral é zerada, temos:

x 2 + 1 * y =   C .

Isolando o “y”:

y =   C x 2 + 1         .

Resposta

y =   C x 2 + 1        

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