Enunciado

Resolva a equação diferencial pelo método dos fatores integrantes.

d y d x + y +   1 1 - e x = 0 .

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, temos:

d y d x + y =   - 1 1 - e x

A partir disso é possível determinar os coeficientes P(x)=1 e Q(x)= - 1 1 - e x .

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d x . Substituindo, temos:

u = e ∫ 1   d x u = e x .

Passo 3

E por último é só aplicar os valores obtidos na fórmula: u * y =   ∫ ( u * Q x )   d x . Portanto:

e x * y   =   ∫ ( e x *   - 1 1 - e x ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

e x * y = l o g l o g   1 - e x   + C .

Isolando o “y”:

y =   l o g ⁡ ( 1 - e x ) + C e x   .

Resposta

y =   l o g ⁡ ( 1 - e x ) + C e x   .

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