Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 8.Revisão - Ex. 4

Resolva a equação diferencial pelo método de separação de variáveis.

3   t g   y - d y d x s e c s e c   x = 0  

Passo 1

Primeiramente, é necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, na equação dada, substitui-se y ' = d y d x e arrumam-se os termos:

3   t g   y - d y d x s e c s e c   x = 0     →   3   t g   y = d y d x s e c s e c   x     →   3 s e c s e c   x       d x = 1 t a n   y   d y   →   3 c o s c o s   x     d x = s e n   y c o s   y d y

Passo 2

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 3 c o s c o s   x       d x = ∫ s e n   y c o s   y   d y       →     s e n   y =   3   s e n   x + C 1

Passo 3

Aplicamos a função logarítmica nos dois lados da função para isolar o “y”

s e n   y = e 3   s e n   x + C 1       →       s e n   y = e 3   s e n   x * e C 1       →       s e n   y = C * e 3   s e n   x       →       y = s e n - 1   ( C * e 3   s e n   x )

Resposta

  y = s e n - 1   ( C * e 3   s e n   x )

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