Enunciado

Resolva a equação diferencial por separação de variáveis. Quando for razoável, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.

d y d x - y 2 - y s e n x = 0

Passo 1

Primeiramente, arrumam-se os termos:

d y d x = y 2 - y s e n x

Passo 2

Depois é necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”.

1 s e n ( x ) d x =   1 y 2 - y d y       →       1 s e n ( x ) d x = - 1 y + 1 y - 1 d y

Passo 3

E por último, integram-se os dois lados da igualdade

∫ 1 s e n ( x ) d x =   ∫ - 1 y + 1 y - 1 d y       l o g y - 1 y = l o g ⁡ ( c o s s e c   x - c o t c o t   x ) + C   =   e C (cossec x – cot x) = C(cossec x – cot x)

Isolando o “y”:

y = 1 1 - C ( c o s s e c   x - c o t c o t   x )  

Resposta

y = 1 1 - C ( c o s s e c   x - c o t c o t   x )  

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