Enunciado

Resolva a equação diferencial por separação de variáveis. Quando for razoável, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.

y - d y d x s e c s e c   x   = 0

Passo 1

Primeiramente, arrumam-se os termos:

y = d y d x s e c s e c   x  

Sabendo que 1 s e c ⁡ ( x ) = c o s ⁡ ( x ) , então substituímos para facilitar os cálculos, temos:

y = d y d x c o s ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Depois é necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”.

c o s ⁡ ( x ) d x = 1 y d y

Passo 3

E por último, integram-se os dois lados da igualdade

∫ c o s ⁡ ( x ) d x =   ∫ 1 y d y s e n x + C = l n ⁡ ( y )

Para retirar a função logarítmica do “y”, elevam-se os dois lados da equação à base “e”, assim:

e s e n x + C = e l n ⁡ ( y ) y = e s e n ( x ) * e C

Sabendo que C é uma constante, temos:

y = C 1 * e s e n ( x )

Resposta

y = C 1 * e s e n ( x )

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