Enunciado

Resolva a equação diferencial usando

  1. Coeficientes indeterminados e
  2. Variação de parâmetros.

4 y ' ' + y = c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos começar pelo método dos coeficientes indeterminados. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

4 y ' ' + y = 0

E a equação característica associada é:

4 k 2 + 1 = 0

E resolvendo temos:

k = ± 1 / 2 i

E a solução é dada por:

y h x = c 1 c o s x / 2 + c 2 s e n ( x / 2 )

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = c o s ( x ) , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma combinação de seno e cosseno:

y p x = A c o s x + B s e n ( x )

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = - A s e n x + B c o s ( x )

y p ' ' x = - A c o s x - B s e n ( x )

Resgatando a equação diferencial integral temos:

4 y p ' ' + y p = c o s ( x )

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

4 - A c o s x - B s e n x + A c o s x + B s e n ( x ) = c o s ( x )

Reorganizando os termos temos:

s e n ( x ) - 3 B + c o s ⁡ ( x ) ( - 3 A ) = c o s ( x )

Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:

- 3 A = 1 - 3 B = 0

Daí tiramos os valores de A   e B :

A = - 1 3 ,       B = 0

E a solução particular é:

y p x = - 1 3 c o s ( x )

E a solução geral vai ser:

y x = c 1 c o s x / 2 + c 2 s e n ( x / 2 ) - 1 3 c o s ( x )

Passo 3

Agora vamos resolver o mesmo sistema, mas pelo método da variação de parâmetros.

Esse método consiste no seguinte: determinado duas soluções para a equação diferencial homogênea associada y 1 e y 2 , supõe-se que a solução particular vá ser uma combinação linear com parâmetros variáveis, dessa forma:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

No texto do livro é deduzido o sistema de equações que essa solução deve satisfazer, a saber, são as equações 7 e 9 e formam o seguinte sistema:

a u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = G u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = 0

Onde a é o coeficiente de y ' ' e G é a função que dá origem a solução particular. Resolvendo esse sistema de equações chegamos as seguintes equações para u 1 ' e u 2 ' :

u 1 ' = - G y 2 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) ,     u 2 ' = - G y 1 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' )  

E depois é só fazer a integração.

No nosso caso y 1 = c o s ⁡ ( x / 2 ) e y 2 = s e n ( x / 2 ) . E as derivadas são y 1 ' = - 1 / 2 s e n ⁡ ( x / 2 ) e y 2 ' = 1 / 2 c o s ⁡ ( x / 2 ) . E G = c o s ⁡ ( x ) e também a = 4 .

Então podemos calcular o denominador:

y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' = 1 / 2    cos 2 ⁡ x 2     +   1 / 2 sen 2 ⁡ x 2 ⁡ = 1 / 2

Assim u 1 ' fica:

u 1 ' = - G y 2 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) = - cos ⁡ x s e n x 2 4.1 / 2 = - 1 2 2 cos 2 ⁡ x 2 - 1 s e n x 2

E integrando em x :

u 1 = ∫ 1 2 s e n x 2 - cos 2 ⁡ x 2 s e n x 2   d x = - cos ⁡ x 2 + 2 3 cos 3 ⁡ x 2

Assim u 2 ' fica:

u 2 ' = - G y 1 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) = - cos ⁡ x c o s x 2 4.1 / 2 = - 1 2 2 cos 2 ⁡ x 2 - 1 c o s x 2

E integrando em x :

u 2 = ∫ 1 2 c o s x 2 - sen 2 ⁡ x 2 c o s x 2   d x = sen ⁡ x 2 - 2 3 sen 3 ⁡ x 2

E a solução particular vai ser:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 = cos ⁡ x 2 . - cos ⁡ x 2 + 2 3 cos 3 ⁡ x 2 + s e n x 2 . sen ⁡ x 2 - 2 3 sen 3 ⁡ x 2 = - 1 3 c o s ⁡ ( x )

E a solução geral vai ser:

y x = c 1 c o s x / 2 + c 2 s e n ( x / 2 ) - 1 3 c o s ( x )

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = c 1 c o s x / 2 + c 2 s e n ( x / 2 ) - 1 3 c o s ( x )

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