Enunciado

Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.

24-

y ' ' + y = c o t g   x ,   0 < x < π / 2

Passo 1

A solução da equação homogênea será a mesma da questão anterior e valerá:

y h = c 1 s e n   x + c 2 cos ⁡ x

E a particular terá a mesma cara:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde y 1 = s e n   x e y 2 = cos ⁡ x

Só que agora o sistema para resolver as variáveis da particular serão:

u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = 0

u 1 ' y 1 ' + u 2 ' y 2 ' = cotg ⁡ x

Ou seja:

s e n   x   u 1 ' + cos ⁡ x   u 2 ' = 0

cos ⁡ x u 1 ' - s e n   x   u 2 ' = cotg ⁡ x

Passo 2

Multiplicando a primeira equação por cos ⁡ x e a segunda por - s e n   x temos:

s e n   x cos ⁡ x u 1 ' + cos 2 ⁡ x u 2 ' = 0

- s e n   x cos ⁡ x u 1 ' + s e n 2   x u 2 ' = - cos ⁡ x

Dessa forma teremos:

u 2 ' = - cos ⁡ x

Integrando em relação a x teremos:

u 2 = - s e n   x

Substituindo u 2 ' na primeira equação teremos:

s e n   x   u 1 ' = cos 2 ⁡ x

u 1 ' = cos 2 ⁡ x s e n   x

Utilizando a relação trigonométrica :

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 → cos 2 ⁡ x = 1 - sin 2 ⁡ x

Isso nos daria a integral igual a:

∫ 1 s e n   x - sin ⁡ x d x

Oque daria:

∫ 1 s e n x d x + cos ⁡ x

E aplicando a substituição u = tan ⁡ x 2 encontramos u 1 igual a:

u 1 = ln ⁡ tan ⁡ x 2 + cos ⁡ x

Logo a solução da equação particular será:

y p = ln ⁡ tan ⁡ x 2 + cos ⁡ x s e n   x - s e n   x cos ⁡ x

Então a equação da solução será:

y = c 1 s e n   x + c 2 cos ⁡ x + ln ⁡ tan ⁡ x 2 + cos ⁡ x s e n   x - s e n   x cos ⁡ x

y = ( c 1 + ln ⁡ tan ⁡ x 2 + cos ⁡ x s e n   x + c 2 - s e n   x cos ⁡ x

Resposta

y = ( c 1 + ln ⁡ tan ⁡ x 2 + cos ⁡ x s e n   x + c 2 - s e n   x cos ⁡ x

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