Enunciado

Resolva a inequação

j ) (x)/(x^2 + x + 1) >= 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão. Como temos uma divisão de dois fatores, precisamos fazer o estudo dos sinais separadamente para depois analisar a divisão. Lembrando que a divisão de dois fatores de sinais iguais dá um resultado positivo, sinais diferentes dá um resultado negativo:

(+) -: (+) = (+)

(-) -: (-) = (-)

(+) -: (-) = ( - )

Ok?

Passo 2

Analisando o sinal de x :

x = 0

Então temos uma mudança de sinal em x = 0 . Agora vamos ver em torno:

  • Antes de x = 0 , por exemplo em x = - 1 :
  • - 1 < 0

    temos que a função assume valores negativos.

  • Depois de x = 0 , por exemplo em x = 1 :

+ 1 > 0

temos que a função assume valores positivos.

Passo 3

Agora analisando o fator ( x^2 + x + 1 ) . Resgatando o resultado do problema 12 temos que se um polinômio de segundo grau do tipo a x^2 + b x + c tiver Delta < 0 , então o sinal da equação será dado pelo sinal do coeficiente a .

Vamos confirmar se o Delta é mesmo negativo:

Delta = b^2 - 4 a c = 1^2 - 4.1 . 1 = - 3 < 0

Beleza! Então temos que o sinal de toda equação será dado pelo coeficiente a .

Nesse caso temos que a = 1 , então temos que a > 0 . Sendo assim, concluímos que x^2 + x + 1 é maior do que zero independente do valor de x .

Passo 4

Agora vamos combinar os resultados:

Antes de x = 0 , o primeiro fator é negativo e o segundo é positivo, logo a divisão deles resultará em um valor negativo.

Depois de x = 0 , ambos fatores são positivos, então a divisão deles resultará em um valor positivo.

Sendo assim, o intervalo de interesse será x >= 0 .

Resposta

x >= 0

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