Enunciado

Resolva o problema de contorno

k d 2 u d x 2 + A e - β x = d u d t ,       β > 0 ,   0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0 ,     u 1 , t = 0

u x , 0 = f x                   0 < x < 1

A equação de derivadas parciais é uma forma da equação do calor quando o calor é gerado no interior de uma haste delgada em consequência do decaimento radioativo do material

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para resolvermos

k d 2 u d x 2 + A e - β x = d u d t ,       β > 0 ,   0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0 ,     u 1 , t = 0

u x , 0 = f x                   0 < x < 1

Lembrando que para derivadas parciais devemos saber que

k d 2 u d x 2 + r = d u d t  

Sendo,

u 0 , t = x 0 . t t = k 1

u L , t = x L . t t = k 2

Passo 2

Sabendo que,

k d 2 u d x 2 + A e - β x = d u d t ,       β > 0 ,   0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0 ,     u 1 , t = 0

u x , 0 = f x                   0 < x < 1

Vamos ter que,

k d 2 u d x 2 + r = d u d t  

u x , t = c 1 . cos ⁡ λ + c 2 sin ⁡ ( λ )

u x , t = Ψ x +   ∑ n = 1 ∞ A n e - k n 2 π 2 t sin ⁡ n π x

Ψ x = A K β 2 - e - β + e - β - 1 x + 1

A n = 2 ∫ 0 1 f x - Ψ x sin ⁡ n π x   d x

Passo 3

u 0 , t = c 1 . cos ⁡ ( 0 ) + c 2 . sin ⁡ 0 = 100

c 1 = u 0

u x , 0 = u 0 . cos ⁡ ( 0 ) + c 2 . sin ⁡ 0 = 0

u x , 0 = c 2 . sin ⁡ ( λ t )

Agora se liga no pulo do gato, precisamos que ele seja não trivial e para isso,

sin ⁡ λ t = 0 → λ 2 = n π x 2 → λ = n π x 2

Ficando no final,

u x , t = 2 ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 f x   sin ⁡ n π x e - k n π x 2 t sin ⁡ n π x

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

Ψ x = A K β 2 - e - β + e - β - 1 x + 1

A n = 2 ∫ 0 1 f x - Ψ x sin ⁡ n π x   d x