Resolva o problema de contorno

k * (d^2 * u / (d * x^2)) - h * u = (d * u / d * t), 0 < x < pi, t > 0

u(0, t) = 0, u(π, t) = u₀, t > 0

u(x, 0) = 0, 0 < x < pi

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para resolvermos as equações derivadas parciais, sabendo que,

k (d^2 u)/(d x^2) - h u = (d u)/(d t) , 0 < x < pi , t > 0

u (0 , t) = 0 , u (pi , t) = u_0 , t > 0

u (x , 0) = 0 , 0 < x < pi

Lembrando que para derivadas parciais devemos saber que

k (d^2 u)/(d x^2) + r = (d u)/(d t)

Sendo,

u (0 , t) = x (0) . t (t) = k_1

u (L , t) = x (L) . t (t) = k_2

Passo 2

Sabendo que,

k (d^2 u)/(d x^2) - h u = (d u)/(d t) , 0 < x < pi , t > 0

u (0 , t) = 0 , u (pi , t) = u_0 , t > 0

u (x , 0) = 0 , 0 < x < pi

Vamos ter que,

k (d^2 u)/(d x^2) + r = (d u)/(d t)

k Psi^(' ') + r = 0 o u Psi^(' ') = - (r)/(k)

Psi^(' ') (x) = (r)/(2 k) x^2 + c_1 x + c_2

u (0 , t) = v (0 , t) . Psi^(' ') (0) = 0

u (pi , t) = v ( pi , t ) . Psi^(' ') (pi) = u_0

Ficando com,

u (x , t) = u_0 - (r)/(k) x (pi) + 2 sum_(n = 1)^(oo) [(u_0)/(n pi) + (r)/(k n^3 pi^3)]

x (pi) e^(- k n^2 pi^2 t) sin n pi x

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

u (x , t) = u_0 - (r)/(k) x (pi) + 2 sum_(n = 1)^(oo) [(u_0)/(n pi) + (r)/(k n^3 pi^3)]

x (pi) e^(- k n^2 pi^2 t) sin n pi x