Responde Aí

Enunciado

Resolva o problema de valor inicial no Exercício 3 e use um recurso gráfico computacional para confirmar que as curvas integrais dessas soluções estão de acordo com os esboços obtidos a partir do campo de direções.

Passo 1

Vamos resolver mais uma questão?

Para achar o valor inicial de uma equação temos é necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”, arrumando os termos, temos:

y ’   =   1   –   y       →       d y d x = 1 - y       →       1 1 - y   d y = 1   d x

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 1 1 - y   d y = ∫ 1   d x         →     - l o g l o g   1 - y   = x + C

Para retirar a função logarítmica do “y”, elevam-se os dois lados da equação à base “e”, assim:

y = 1 + C * e - x               ( 1 )

Passo 2

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 1 1 - y   d y = ∫ 1   d x         →     - l o g l o g   1 - y   = x + C

Para retirar a função logarítmica do “y”, elevam-se os dois lados da equação à base “e”, assim:

y = 1 + C * e - x                                   ( 1 )

Passo 3

E por último aplicamos as condições iniciais na equação (1)

(a) y(0) = −1 (b) y(0) = 1 (c) y(0) = 2

a) y(0) = -1

y = 1 + C * e - x       →     - 1 - 1 = C * e 0       →       C = - 2

y = 1 - 2 e - x

b) y(0) = 1

y = 1 + C * e - x       →     1 - 1 = C * e 0       →       C = 0

y = 1 + 0 * e - x       →       y = 1

c) y(0) = 2

y = 1 + C * e - x       →   2 - 1 = C * e 0       →       C = 1

y = 1 + 1 e - x  

Essas equações aplicadas em um recurso computacional geraram o seguinte gráfico que corresponde ao esboço obtido na questão anterior com o campo de direção.

Resposta

y = 1 - 2 e - x

y = 1

y = 1 + 1 e - x