Enunciado

Resolva o problema de valor inicial pelo método de separação de variáveis.

y ' = y 5 x   ( 1 + y 4 )               ,             y 1 = 1

Passo 1

Primeiramente, é necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, na equação dada, substitui-se y ' = d y d x e arrumam-se os termos:

d y d x = y 5 x   ( 1 + y 4 )       →       1 x   d x = y 5 ( 1 + y 4 )   d y       →       1 x   d x = 1 y 5 + 1 y d y

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 1 y 5 + 1 y   d y = ∫ 1 x   d x       →     - 1 4 y - 4 + l o g l o g   y   = l o g l o g   x   + C               ( 1 )

Passo 2

Em sequência aplica-se o valor inicial dado no comando de y(1)=1 na equação (1), o objetivo é determinar o valor da variável “C”, temos:

- 1 4 1 - 4 + l o g l o g   1   = l o g l o g   1   + C       →       C = - 1 4

Passo 3

E por fim, substituímos o valor de “C” na equação (1)

- 1 4 y - 4 + l o g l o g   y   = l o g l o g   x   + - 1 4               o u           y - 4 - 4 l o g l o g   y   + 4 l o g l o g   x   = 1

Isolamos y:

y - 4 + 4 l o g l o g   x y   = 1

Resposta

y - 4 + 4 l o g l o g   x y   = 1

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