Enunciado

Resolva o problema de valor inicial pelo método de separação de variáveis.

y ' = 1 + y 2               ,             y 0 = 1

Passo 1

Primeiramente, é necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, na equação dada, substitui-se y ' = d y d x e arrumam-se os termos:

d y d x = 1 + y 2       →       1 1 + y 2   d y = d x

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 1 1 + y 2   d y = ∫ d x       →       t a n - 1   y = x + C                 ( 1 )

Passo 2

Em sequência aplica-se o valor inicial dado no comando de y(0)=1 na equação (1), o objetivo é determinar o valor da variável “C”, temos:

t a n - 1   1 = 0 + C       →       C = π 4

Passo 3

E por fim, substituímos o valor de “C” na equação (1)

t a n - 1   y = x + π 4

Isolamos y:

y = t a n ⁡ x + π 4

Resposta

y = t a n ⁡ x + π 4

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