Resolva o problema de valor inicial pelo método de separação de variáveis.

y' = 4y^2 2x , y(π/8) = 1

Passo 1

Primeiramente, é necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, na equação dada, substitui-se y ' = d y d x e arrumam-se os termos:

d y d x = 4 y 2 2 x         →       1 y 2   d y = 42 x     d x

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 1 y 2   d y = ∫ 42 x     d x       →     - 1 y = 2 t a n t a n   2 x + C  

Passo 2

Em sequência aplica-se o valor inicial dado no comando de y π 8 =1 na equação (1), o objetivo é determinar o valor da variável “C”, temos:

- 1 1 = 2 t a n t a n   2 π 8 + C       →     - 1 = 2   t a n π 4 + C         →     - 1 = 2 + C       →       C = - 3

Passo 3

E por fim, substituímos o valor de “C” na equação (1)

- 1 y = 2 t a n t a n   2 x - 3         →       1 y = -   2 t a n t a n   2 x + 3        

Isolamos y:

y = 1 -   2 t a n t a n   2 x + 3  

Resposta

y = 1 -   2 t a n t a n   2 x + 3