Resolva o problema de valor inicial.

(d y)/(d x) - 2 x y = 2 x , y (0) = 3

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Como a forma já está adequada já é possível determinar os coeficientes P(x)= - 2 x e Q(x)=2x

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e^(int_()^() p (x) d x) . Substituindo, temos:

u = e^(int_()^() ( - 2 x ) d x) u = e^(- x^2)

Passo 3

Aplicam-se os valores obtidos na fórmula: u * y = int_()^() ( u * Q (x) ) d x . Portanto:

e^(- x^2) * y = int_()^() ( e^(- x^2) * 2 x ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

e^(- x^2) * y = - e^(- x^2) + C (1)

Aplica-se os valores dados no comando y=3 e x=0 pra determinar o valor de C.

e^(- ( 0 )^2) * 3 = - e^(- ( 0 )^2) + C C = 4

Substitui-se o C na equação (1) obtida e isola-se o “y”

e^(- x^2) * y = - e^(- x^2) + 4 y = - 1 + 4 e^(x^2)

Resposta

y = - 1 + 4 e^(x^2)