Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

x d y d x - y = x 2 ,                       y 1 = - 1

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, dividindo todos os termos por “x”, temos:

d y d x - y x =   x

A partir disso é possível determinar os coeficientes P(x)= - y x   e Q(x)=x

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d x . Substituindo, temos:

u = e ∫   ( - 1 x )   d x u = e l o g ( x ) - 1

Pela propriedade de logaritmo, log de base “e” é o próprio logaritmando. Assim:

u = x - 1 ou u = 1 x

Passo 3

Aplicam-se os valores obtidos na fórmula: u * y =   ∫ ( u * Q x )   d x . Portanto:

1 x   * y   =   ∫ ( 1 x   *   x ) d x y x = ∫ ( 1 ) d x

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

y x   =   x + C (1)

Aplica-se os valores dados no comando y=-1 e x=1 pra determinar o valor de C.

- 1 1   =   1 + C C = - 2

Substitui-se o C na equação (1) obtida e isola-se o “y”

y x   =   x - 2 y   =   x 2 - 2 x

Resposta

y   =   x 2 - 2 x

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