Resolva o problema de valor inicial.

x * (dy/dx) - y = x^2, y(1) = -1

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, dividindo todos os termos por “x”, temos:

(d y)/(d x) - (y)/(x) = x

A partir disso é possível determinar os coeficientes P(x)= - (y)/(x) e Q(x)=x

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e^(int_()^() p (x) d x) . Substituindo, temos:

u = e^(int_()^() ( - (1)/(x) ) d x) u = e^(l o g ( x )^(- 1))

Pela propriedade de logaritmo, log de base “e” é o próprio logaritmando. Assim:

u = x^(- 1) ou u = (1)/(x)

Passo 3

Aplicam-se os valores obtidos na fórmula: u * y = int_()^() ( u * Q (x) ) d x . Portanto:

(1)/(x) * y = int_()^() ( (1)/(x) * x ) d x (y)/(x) = int_()^() ( 1 ) d x

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

(y)/(x) = x + C (1)

Aplica-se os valores dados no comando y=-1 e x=1 pra determinar o valor de C.

(- 1)/(1) = 1 + C C = - 2

Substitui-se o C na equação (1) obtida e isola-se o “y”

(y)/(x) = x - 2 y = x^2 - 2 x

Resposta

y = x^2 - 2 x