Resolva o problema de valor inicial.

x (d y)/(d x) + y = x , y (1) = 2 .

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, dividindo todos os termos por “x”, temos:

(d y)/(d x) + (y)/(x) = 1

A partir disso é possível determinar os coeficientes P(x)= (y)/(x) e Q(x)=1

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e^(int_()^() p (x) d x) . Substituindo, temos:

u = e^(int_()^() ( (y)/(x) ) d x) u = e^(l o g ( x ))

Pela propriedade de logaritmo, log de base “e” é o próprio logaritmando. Assim:

u = x

Passo 3

Aplicam-se os valores obtidos na fórmula: u * y = int_()^() ( u * Q (x) ) d x . Portanto:

x * y = int_()^() ( x * 1 ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

x * y = (x^2)/(2) + C (1)

Aplica-se os valores dados no comando y=2 e x=1 pra determinar o valor de C.

1 * 2 = (1^2)/(2) + C C = (3)/(2)

Substitui-se o C na equação (1) obtida e isola-se o “y”

x * y = (x^2)/(2) + (3)/(2) y = (x)/(2) + (3)/(2 x)

Resposta

y = (x)/(2) + (3)/(2 x)