Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

x d y d x + y = x ,                       y 1 = 2 .

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Assim, dividindo todos os termos por “x”, temos:

d y d x + y x =   1

A partir disso é possível determinar os coeficientes P(x)= y x   e Q(x)=1

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d x . Substituindo, temos:

u = e ∫   ( y x )   d x u = e l o g ( x )

Pela propriedade de logaritmo, log de base “e” é o próprio logaritmando. Assim:

u = x

Passo 3

Aplicam-se os valores obtidos na fórmula: u * y =   ∫ ( u * Q x )   d x . Portanto:

x * y   =   ∫ ( x *   1 ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

x * y   =   x 2 2 + C (1)

Aplica-se os valores dados no comando y=2 e x=1 pra determinar o valor de C.

1 * 2   =   1 2 2 + C C = 3 2

Substitui-se o C na equação (1) obtida e isola-se o “y”

x * y   =   x 2 2 + 3 2   y   =   x 2 + 3 2 x

Resposta

y   =   x 2 + 3 2 x