Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

d y d t + y = 2 ,                       y 0 = 1

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Como a forma já está adequada já é possível determinar os coeficientes P(t)= 1   e Q(t)=2

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e ∫ p x   d t . Substituindo, temos:

u = e ∫   ( 1 )   d t u = e t

Passo 3

Aplicam-se os valores obtidos na fórmula: u * y =   ∫ ( u * Q t )   d t . Portanto:

e t * y   =   ∫ ( e t *   2 ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

e t * y   =   2   e t + C (1)

Aplica-se os valores dados no comando y=1 e t=0 pra determinar o valor de C.

e 0 * 1   =   2   e 0 + C C = - 1

Substitui-se o C na equação (1) obtida e isola-se o “y”

e t * y   =   2   e t - 1                     y   =   2 - e t

Resposta

y   =   2 - e t

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