Resolva o problema de valor inicial.

dy/dt + y = 2, y(0) = 1

Passo 1

O primeiro passo para resolvermos essa questão é lembrarmos o método dos fatores integrantes que exige que a equação esteja na forma:

Como a forma já está adequada já é possível determinar os coeficientes P(t)= 1 e Q(t)=2

Passo 2

O segundo passo é determinar o fator integrante (u), sendo u = e^(int_()^() p (x) d t) . Substituindo, temos:

u = e^(int_()^() ( 1 ) d t) u = e^t

Passo 3

Aplicam-se os valores obtidos na fórmula: u * y = int_()^() ( u * Q (t) ) d t . Portanto:

e^t * y = int_()^() ( e^t * 2 ) d x .

Resolvendo os termos semelhantes e aplicando a integral, temos:

e^t * y = 2 e^t + C (1)

Aplica-se os valores dados no comando y=1 e t=0 pra determinar o valor de C.

e^0 * 1 = 2 e^0 + C C = - 1

Substitui-se o C na equação (1) obtida e isola-se o “y”

e^t * y = 2 e^t - 1 y = 2 - e^t

Resposta

y = 2 - e^t