Enunciado

Resolva o problema de valor inicial por separação de variáveis

d y d t = 2 t + 1 2 y - 2     , y 0 = - 1

Passo 1

É necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”, arrumando os termos, temos:

2 y - 2 d y = 2 t + 1 d t

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 2 y - 2 d y   =   ∫ 2 t + 1 d t y 2 - 2 y = t 2 + t + C (1)

Passo 2

Em sequência aplica-se o valor inicial dado no comando de y 0 = - 1 na equação (1), o objetivo é determinar o valor da variável “C”, temos:

( - 1 ) 2 - 2 ( - 1 ) = ( 0 ) 2 + 0 + C C = 3

Passo 3

E por fim, substituímos o valor de “C” na equação (1)

  y 2 - 2 y = t 2 + t + 3

Resposta

y 2 - 2 y = t 2 + t + 3

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