Enunciado

Resolva o problema de valor inicial por separação de variáveis

y ' - x e y = 2 e y     , y 0 = 0

Passo 1

Primeiramente, é necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, na equação dada, substitui-se y ' = d y d x e arrumam-se os termos:

d y d x = e y ( 2 + x ) e - y d y   =   ( 2 + x ) d x

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ e - y   d y   =   ∫ ( 2 + x ) d x - e - y = (   x 2 2 + 2 x + C   ) (1)

Passo 2

Em sequência aplica-se o valor inicial dado no comando de y 0 = 0 na equação (1), o objetivo é determinar o valor da variável “C”, temos:

- e 0 = (   0 2 2 + 2 * 0 + C   ) C = - 1

Passo 3

E por fim, substituímos o valor de “C” na equação (1)

- e - y = (   x 2 2 + 2 x - 1   )

Para retirar a função logarítmica do “y”, aplica-se logaritmo nos dois lados da equação, assim temos:

y = - l n   (   x 2 2 + 2 x - 1   )

Resposta

y = - l n   (   x 2 2 + 2 x - 1   )

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