Enunciado

Resolva o problema de valor inicial por separação de variáveis

y ' * c o s   h 2 - y * c o s c o s   h   2 x   = 0 , y 0 = 3

Passo 1

É necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”, arrumando os termos, temos:

d y d x = y * c o s c o s   h   ( 2 x )   c o s c o s   h 2   ( x ) 1 y   d y =   c o s c o s   h   ( 2 x )   c o s c o s   h 2   ( x )     d x

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 1 y d y =   ∫ c o s c o s   h   ( 2 x )   c o s c o s   h 2 x     d x l n l n   y   = 2 x - t a n t a n   h   x + C  

Para retirar a função logarítmica do “y”, elevam-se os dois lados da equação à base “e”, assim:

e l n ⁡ ( y ) = e 2 x - t a n t a n   h   x   * e C   y = e 2 x - t a n t a n   h   x   * e C (1)

Passo 2

Em sequência aplica-se o valor inicial dado no comando de y 0 = 3 na equação (1), o objetivo é determinar o valor da variável “C”, temos:

3 = e 2 ( 0 ) - t a n t a n   h   0   * e C e C = 3

Passo 3

E por fim, substituímos o valor de “   e C   ” na equação (1)

y = 3   e 2 x - t a n t a n   h   x  

Resposta

y = 3   e 2 x - t a n t a n   h   x