Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 8.2 (exercícios de compreensão) - Ex. 4

Resolva o problema de valor inicial

d y d x = - x y , y 0 = 1

tem solução y(x) = __________.

Passo 1

Primeiramente, é necessário colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, arrumando os termos, temos:

d y d x = - x y y   d y = - x   d x

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ y   d y   =   ∫ - x   d x y 2 2 =   - x 2 2 + C (1)

Passo 2

Em sequência aplica-se o valor inicial dado no comando de y 0 = 1 na equação (1), o objetivo é determinar o valor da variável “C”, temos:

( 1 ) 2 2 =   - ( 0 ) 2 2 + C       →       C = 1 2

Passo 3

E por fim, substituímos o valor de “C” na equação (1)

y 2 2 =   - x 2 2 + 1 2

Isolando o y, temos a solução:

y = 1 - x 2 2

Resposta

y = 1 - x 2

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