Resolva o sistema autônomo plano não-linear dado, passando para coordenadas polares. Descreva o comportamento geométrico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas

x' = y - x / raiz(x^2 + y^2) (4 - x^2 - y^2)

y' = -x - x / raiz(x^2 + y^2) * (4 - x^2 - y^2) , X(0) = 1,0; X(0) = (2,0)

Passo 1

Nesta questão ele pede o plano linear do sistema dado, sabendo que,

x ' = y - x x 2 + y 2 ( 4 - x 2 - y 2 )

y ' = - x - y x 2 + y 2 ( 4 - x 2 - y 2 ) , X 0 = 1,0 ,         X 0 = ( 2,0 )

Passo 2

Lembrando que para mudança de variáveis temos que,

x = ρ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ

y = ρ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , tendo como equação

x ' = y - x x 2 + y 2 ( 4 - x 2 - y 2 )

y ' = - x - y x 2 + y 2 ( 4 - x 2 - y 2 ) , X 0 = 1,0 ,         X 0 = ( 2,0 )

Com isso, vamos ter que

r = 1 1 + c 1 e 4 t ,       θ = t + c 2 ,       r = 1 ,     θ = 4 t

X 2,0 = r = 4

Resposta

r = 1 1 + c 1 e 4 t ,       θ = t + c 2 ,       r = 1 ,     θ = 4 t

X 2,0 = r = 4