Resolva o sistema autônomo plano não-linear dado, passando para coordenadas polares. Descreva o comportamento geométrico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas

x' = -y + x * (1 - x^2 - y^2)

y' = x + y * (1 - x)^2 - y^2 , X(0) = 1,0; X(0) = (2,0)

Passo 1

Nesta questão ele pede o plano linear do sistema dado, sabendo que,

x ' = - y + x ( 1 - x 2 - y 2 )

y ' = x + y ( 1 - x 2 - y 2 ) , X 0 = 1,0 ,         X 0 = ( 2,0 )

Passo 2

Lembrando que para mudança de variáveis temos que,

x = ρ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ

y = ρ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , tendo como equação

x ' = - y + x ( 1 - x 2 - y 2 )

y ' = x + y ( 1 - x 2 - y 2 ) , X 0 = 1,0 ,         X 0 = ( 2,0 )

Com isso, vamos ter que

r = 1 1 + c 1 e - 2 t ,       θ = t + c 2 ,       r = 1 ,     θ = t

Para x = cos ⁡ t     e     y = sin ⁡ t

X 0 = 1,0 ,                 r = 1 1 - 3 4 e - 2 t   ,     θ = t

X 0 = 2,0   para r = 1

Resposta

X 0 = 1,0 ,                 r = 1 1 - 3 4 e - 2 t   ,     θ = t

X 0 = 2,0   para r = 1