Resolva o sistema autônomo plano não-linear dado, passando para coordenadas polares. Descreva o comportamento geométrico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas

x' = -y - x * raiz((x^2 + y^2) / 2)

y' = x - y * ((x^2 + y^2) / 2) , X(0) = (4,0)

Passo 1

Nesta questão ele pede o plano linear do sistema dado, sabendo que,

x ' = - y - x x 2 + y 2 2

y ' = x - y ( x 2 + y 2 , X 0 = ( 4,0 )

Passo 2

Lembrando que para mudança de variáveis temos que,

x = ρ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ

y = ρ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , tendo como equação

x ' = - y - x x 2 + y 2 2

y ' = x - y ( x 2 + y 2 , X 0 = ( 4,0 )

Com isso, vamos ter que

r = 1 1 + c 1 e - 2 t ,       θ = t + c 2 ,       r = 1 ,   θ = t

Resposta

r = 1 1 + c 1 e - 2 t ,       θ = t + c 2 ,       r = 1 ,   θ = t